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Están las matemáticas repletas de sorpresas. ¿Quién habría imaginarlo, por ejemplo, que de algo tan sencillo como los números naturales (1, 2, 3, 4,...) iba a nacer algo tan desconcertante como los números primos (2, 3, 5, 7, 11 .... )? Los números naturales siguen una pauta obvia: para cualquiera que tomemos es fácil determinar el número siguiente. No así con los números primos. Y sin embargo, conceptualmente, el paso de los números naturales a los números primos es bien sencillo: basta tomar aquellos números que no tengan divisores propios. Es mucho lo que se sabe sobre números primos, y no faltan potentes fórmulas que den buenas aproximaciones de ellos cuando no tenemos los valores exactos. El "teorema de los primos" establece que el número de enteros primos menores que x es aproximadamente de x/ln(x), donde ln denota el logaritmo natural (o neperiano). Así, por ejemplo, sabemos que existen aproximadamente 4,3 x 10⁹⁷ números primos que tengan menos de 100 dígitos. Su número exacto, en cambio, es un completo misterio. Andrew Odlyzko Michael Rubinstein y Marek Wolf, estudiosos de la separación entre números primos consecutivos, en un artículo, publicado en Experimental Mathematics (vol. 8, # 2, 1999) se ocuparon del siguiente problema: ¿Cuál es la distancia más frecuente entre números primos consecutivos menores que x? Esta cuestión fue, planteada a finales de los setenta por Harry Nelson. Posteriormente, John Horton Conway acuñó la expresión "campeones de salto" para describir a tales números. Los números primos menores que 50 son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. La secuencia de lapsos -las diferencias entre cada número primo y su precedente- es 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2 y 4. El número 1 aparece una sola vez, porque todos los números primos, a excepción del 2, son impares. Todos los demás tramos corresponden a lapsos pares. En
esta secuencia, el 2 aparece seis veces, el 4, cinco veces, y el 6, solamente dos. Así, cuando x = 50, el lapso más común es 2, y por ello tal número es el campeón de salto. En ocasiones son más de uno los lapsos igualmente frecuentes. Por ejemplo, cuando x = 5, los lapsos son de 1 y 2, y cada uno se presenta una vez. Para valores más elevados de x, el 2 conserva el título hasta llegar a x = 101, momento en el que 2 y 4 quedan empatados (figura l).

A partir de ahí el campeonato de salto se lo disputan entre el 2 y el
4, hasta llegar a x = 179, en que 2, 4 y 6 quedan en empate a tres. Luego desaparece el reto entre 4 y 6, y el 2 permanece campeón invicto hasta x = 379, momento en que empata con 6. Desde 389 en adelante el campeón más frecuente es el 6, con empates ocasionales con el 2 o el 4, o con ambos. Pero cuando x va desde 491 hasta 541, el campeonato de salto retorna al 4. Desde x = 947 en adelante, el trofeo pertenece en exclusiva al 6, y una investigación con el auxilio de ordenador revela que así continúa hasta, por lo menos, x = 10¹².
Parece razonable concluir qué, dejada aparte cierta competencia inicial con 1, 2 y 4, el único campeón a largo plazo es 6. Pero incluso una pauta que persiste hasta números del orden del billón podría perfectamente cambiar al aumentar todavía más los números. Y aquí es donde surge la sorpresa. Odlyzko y sus colegas proporcionan un persuasivo razonamiento de que en las cercanías de x = 1,7427
X 10³⁵ él campeón de salto cambia de 6 a 30. Y conjeturan, asimismo, que volverá a cambiar otra vez pasando a ser 210, cerca de x = 10⁴²⁵.

Excepto para el 4, los campeones de salto conjeturados encajan en una elegante pauta, que resulta obvia si los descomponemos en factores primos:

2 = 2
6 = 2 x 3
30 = 2 x 3 x 5
210 = 2x3x5x7

Cada número se obtiene multiplicando los números primos consecutivos. Tales productos son llamados "primoriales" -porque son como los números factoriales, pero con primos- y los siguientes son 2310, 30.030 y 510.510. En su artículo, Odlyzko y coautores enuncian su "conjetura del campeonato de salto": los campeones de salto son los números primoriales, más el 4. He aquí una breve explicación de su análisis. Quien haya observado la sucesión de los números primos habrá notado que de cuando en cuando hay dos números impares consecutivos que son primos; así, 5 y 7, 11 y 13, 17
y 19. La conjetura de los primos gemelos enuncies que existe una infinidad de tales pares. Está basada en la idea de que los números primos se presentan "al azar" entre los impares, con una probabilidad basada en el teorema de los números primos. Este planteamiento puede parecer absurdo -pues un número, o es primo, o no lo es; la probabilidad no interviene- pero en este tipo de problemas se trata de un absurdo razonable. Según un cálculo de probabilidades, no hay posibilidad de que la lista de primos gemelos sea finita. ¿Y qué decir de la existencia de ternas de números primos consecutivos? Solamente existe un ejemplo, a saber, 3, 5, 7. Dados tres números inipares consecutivos, uno de ellos será forzosamente múltiplo de 3, y tal número no puede ser primo a menos que se trate del propio número 3. Sin embargo, las series p, p+2, p+6 y p, p+4, p+6 no pueden ser descartadas por tales razonamientos; antes bien, parecen ser bastante comunes. Por ejemplo, tenemos una serie del primer tipo en 11, 13, 17 y de nuevo en 41, 43, 47. Las series de segundo tipo empiezan en 7, 1 1, 13, y de nuevo en 37, 41, 43. Hace unos 80 años Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littiewood analizaron pautas de este tipo en colecciones de primos mucho mayores. Valiéndose del mismo tipo de cálculo probabilístico al que aludí para los primos gemelos, dedujeron una fórmula precisa para el número de secuencias de primos que contienen pautas de lapsos prefijadas. La fórmula, complicada, puede consultarse en el artículo de Experimental Mathematics antecitado y las referencias que contiene. Partiendo del trabajo de Hardy y Littlewood, Odiyzko y sus colegas dedujeron una fórmula para N(x, d), valor que denota el número de tramos entre primos consecutivos separados por un lapso de tamaño 2d y los números primos son menores o iguales que x. (Se usa aquí 2d en lugar de d porque la longitud del lapso tiene que ser par.) Sólo es de esperar que la fórmula sea válida cuando 2d sea grande, y x, muchí-
simo mayor. La figura 2 permite observar cómo depende log N(x, d) de la longitud del tramo, 2d, para trece valores de x que van desde 220 hasta 244 (en esta gráfica, log denota al logaritmo de base 10). Cada una de las líneas del trazado es aproximadamente recta, aunque con muchísimos altibajos. Los picos situados sobre 2d = 210 son especialmente prominentes; por eso es 210 el favorito para campeón de salto correspondiente a valores muy grandes de x. (Y todavía resaltaría más de no haber sido aplanado por la representación logarítmica.) Tal clase de información induce a pensar que la fórmula N(x, d) no se descarría demasiado. Ahora bien, si 2d va a ser un campeón de salto, el valor de N(x, d) tiene que ser grande. La mejor forma de conseguirlo es que 2d tenga muchos factores primos distintos. Y con esta condición, 2d debería, también, ser lo menor posible, así que las elecciones más plausibles para 2d son las primoriales. El 4, conocido campeón de salto, constituye, presumiblemente, una excepción; en cualquier caso, aparece a un tamaño en el que la aproximación dada por la fórmula N(x, d) no es buena. La fórmula permite además calcular aproximadamente cuándo un primordial determinado va a relevar al anterior en su papel de campeón de salto. ¿Qué le queda por hacer a la matemática recreativa? Demostrar la Conjetura del Campeón de Salto, claro está.O refutarla. Si el lector no consigue ninguna de estas cosas, pruebe a buscar otras propiedades interesantes de los lapsos entre números primos. Por ejemplo, ¿cuál es el salto menos frecuente (que realmente aparece) entre primos consecutivos menores que x? ¿Cuál es el lapso cuya frecuencia más se aproxima al número medio de veces? Que yo sepa, se trata de preguntas poco estudiadas, incluso para valores relativamente pequeños de x.

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