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de la Matemática
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Cuando a mediados del siglo XVIII James Watt construyó la primera máquina de vapor fiable, inmediatamente consideró utilizarla en un trabajo productivo. Entonces se enfrentó a un problema. El movimiento que producía su invento era rectilíneo; lo generaba el émbolo al que empujaba el pistón. Pero ¿Cómo guiar un movimiento rectilíneo? ¿Cómo transformarlo en movimiento circular para aprovecharlo en tornos y molinos?
Hoy resolveríamos el problema fácilmente, mediante una cruceta que se deslice entre dos correderas. Pero hace dos siglos, la idea sobre la fricción que se provocaría era errónea: se la creía exagerada. Por lo tanto, se buscaron caminos diferentes. El mismo Watt lo intentó de varias maneras. Aunque algunas de sus soluciones han dejado de utilizarse hace tiempo, conservan, sin embargo, el encanto de los juegos de construcción infantiles, la fascinación de las estructuras armadas con el Meceano, y quizá, la nostalgia por una época en que los mecanismos eran todavía comprensibles, y el universo era sólo otro mecanismo, más grande y más complejo, pero en el fondo, si se sabía interpretarlo, similar al resto. Y además, en nuestros días, aunque el ingeniero escocés jamás lo hubiese imaginado, de alguna manera se han relacionado con un área totalmente extraña: las artes visuales. Pero vayamos por partes. La configuración de varillas de la figura 1 es conocida como paralelogramo de Watt. Los círculos indican articulaciones: los llenos, articulaciones fijas; los otros, articulaciones móviles. Esto es, las dos articulaciones indicadas con una 0 están fijas al plano del papel; las varillas que parten de ellas sólo pueden girar libremente a su alrededor. Las otras articulaciones, por el contrario, pueden desplazarse sobre el plano. La varilla OR es de una sola pieza; no se encuentra articulado en S, donde sí lo está la varilla ST. Así las cosas, si se desplaza el punto P hacia arriba y abajo, en el sentido de las flechas, el movimiento producido es recto: allí puede conectarse la varilla del pistón. Corrección: el movimiento de P no es exactamente recto, y puede ser demostrado matemáticamente. Es, de todas maneras, una aproximación lo suficientemente buena como para que la tolerancia con que está construido el pistón pueda absorber las diferencias sin atascarse. La rectificación del movimiento circular no sólo atrajo la atención de los diseñadores de máquinas; también los matemáticos se interesaron en el tema. Durante casi todo el siglo posterior al intento de Watt, todos fueron fracasos, y en el camino quedaron grandes matemáticos. Después, en 1864, un tecnólogo francés de apellido Peaucellier resolvió el problema. Inmediatamente se encontraron otras varias soluciones diferentes. La célula de Peaucciller es relativamente simple (fig. 2). Las cuatro varillas que se articulan en T y P, formando un rombo, son de la misma longitud. También son de igual longitud las dos varillas más largas, que se articulan en 0. Si se elige una tercera varilla de longitud similar a éstas y se la articula en T, fijando el otro extremo 0 sobre el plano, P se desplaza en línea recta al hacer girar el punto T alrededor de 0 (fig. 3). A pesar de estar construida con sólo siete varillas, la célula de Peaucellier no es el mecanismo más simple: pocos años después, un sistema ideado por el inglés Hart lograba el mismo efecto con tres varillas menos.
James Watt fue también inventor de otro sistema en uso hasta el día de hoy: el dispositivo planetario (fig. 4). Éste consiste simplemente en una articulación fija 0, alrededor de la que gira una segunda articulación. A esta última le adosamos una varilla, también articulada en R. Además, hacemos deslizar el punto R sobre una guía recta. El extremo P del sistema, por lo tanto, también se desplazará en línea recta. Hace un cuarto de siglo, en pleno auge del popart, un plástico japonés, Hiroshi Tomura, utilizó este mecanismo con fines artísticos. Una reedición de la obra fue preparada para la segunda edición del Museo del Divertimiento que Itsuo Sakane organizó en Tokio en el año '84, y a la que varias veces han hecho referencia artículos de CACUMEN. Imaginemos un sistema de cuatro cuadrados (fig. 5), y comparémoslo con la figura anterior. El punto 0 es ahora el eje negro en el centro del cuadrado superior de la izquierda. Las articulaciones que giran alrededor son ahora dos: una ubicada en el vértice A, la otra en el vértice B. La articulación en A conecta ese vértice con el vértice A' del cuadrado inmediataniente inferior; la articulación en B hace lo mismo con el vértice B' del cuadrado superior de la derecha. Ambos se conectan a un cuarto cuadrado mediante articulaciones que unen los respectivos vértices C con C", y D con D'. El punto R de la figura anterior se transforma en el círculo central del cuadrado inferior de la derecha. En este caso no se trata de una articulación, sino de una guía que corre sobre la corredera indicada en el dibujo. ¿Qué sucede si se hace girar el cuadrado superior de la izquierda como se indica con la flecha? En la figura 6 se han marcado las diagonales y sombreado la mitad de cada cuadrado para seguir con facilidad la secuencia de movimientos. En la parte superior, aún no se ha iniciado el giro. En el medio, de izquierda a derecha, el cuadrado fijo al eje comienza a rotar; en forma correspondiente, el cuadrado con la guía se desliza separándose. Al fin alcanza la distancia máxima, apareciendo en el centro un espacio cuadrado, de lado igual a los anteriores. El movimiento continúa, y la brecha comienza a cerrarse hasta que los lados se vuelven a tocar. Sin embargo, la posición de las piezas no es la original, y la orientación de las diagonales así lo indica.
Quizá la mejor manera de imaginar la transformación sufrida por los cuatro cuadrados sea imaginar que son engranajes (fig. 7). No se tendrán demasiado en cuenta las posiciones intermedias que adopten, sino la inicial y la final; la parte superior y la inferior de la figura 6. Por eso no tiene importancia que los engranajes giren todos sobre ejes fijos. Como en el caso anterior, se han sombreado la mitad de los círculos. Una característica es inmediatamente evidente. Si un engranaje gira en cierto sentido, digamos, en el de las agujas del reloj, los que se encuentran en contacto con él lo harán en sentido contrario. De aquí se deduce que para que los engranajes formen un ciclo cerrado, su número debe ser par. De no ser así, dos ruedas consecutivas intentarían girar en el mismo sentido, trabando el mecanismo (y para transformar un movimiento giratorio en recto es necesario un ciclo cerrado de articulaciones, como se vio antes con las varillas). Esto equivale a decir que cada vértice de estas estructuras debe ser también vértice de un número par de polígonos. También se deduce que de los tres recubrimientos regulares del plano que no dejan intersticios entre las baldosas, formados por cuadrados, triángulos o hexágonos, sólo los dos primeros podrán ser utilizados. En el último caso, alrededor de cada vértice se disponen tres hexágonos, un número impar. Veamos otro ejemplo. Se trata del otro recubrimiento regular: un sistema de seis triángulos equiláteros (fig. 8). Como antes, el círculo negro indica un eje fijo; las letras que se corresponde entre sí marcan articulaciones móviles. Ya no es suficiente con una sola guía que se deslice por una corredera. Son necesarias, al menos, cuatro. De otra manera, los triángulos no se desplazarán sobre líneas rectas (fig. 9).
Las sucesivas posiciones del sexto triángulo (en línea de puntos en la figura), quedan determinadas por las de los otros. Si se reemplazan los triángulos por los correspondientes engranajes, éstos se disponen en los vértices de un hexágono (fig. 1O). A pesar de la aparente simplicidad del sistema, no siempre es fácil imaginar el resultado del movimiento. En la figura 11 se muestra una construcción de seis triángulos, con las posiciones inicial, intermedias y final. En la figura 12, una ampliación de la misma. Los triángulos son ahora 13, y sólo se indica la posición inicial. ¿Puede el lector deducir la posición final de cada uno de los colores con que se han sombreado los triángulos? La solución, como es costumbre, en las páginas finales. La utilización de engranajes para representar los polígonos tiene sus ventajas, pero también tiene sus limitaciones. Las ventajas se derivan del hecho de que un círculo inscrito en un polígono regular toca todos los lados. Hablamos antes de los recubrimientos regulares del plano, aquéllos que requieren que todas las baldosas sean iguales. Si se abandona esta última condición, y se admiten baldosas de dos o más formas (pero siempre de polígonos regulares), se obtienen nuevos diseños: por ejemplo, los recubrimientos semirregulares, donde alrededor de cada vértice se disponen siempre los mismos polígonos en el mismo orden. Hay ocho recubrimientos semirregulares. Sólo uno de ellos (quizá tendríamos que decir dos), servirá a nuestros propósitos. El resto, o bien tiende un número impar de baldosas alrededor de cada vértice, o bien no cumple con otra condición que se examinará más adelante.
En la figura 13 se ilustra una combinación de triángulos y hexágonos, una porción de un embaldosado semirregular. Considere el lector únicamente la parte izquierda de la figura. ¿Dónde deberá situar las bisagras para lograr que gire? Suponga que reemplaza los polígonos por engranajes. De las tres alternativas de la figura 14, ¿cuál deberá elegir? La respuesta se insinuó al principio del párrafo: la alternativa en la que los círculos son inscritos a los polígonos. Ésta indica, por ejemplo, que los triángulos no se encuentran unidos entre sí, sino a los hexágonos. Además, y como es fácil deducir de los ejemplos anteriores, a cada vértice de cada polígono sólo puede colocársele una bisagra. Es decir, un vértice de un polígono puede unirse a sólo un vértice de otro. Si se retorna a la figura 13, cuando el movimiento llega al punto medio, aparecen intersticios de forma cuadrada entre las piezas. Esta combinación de triángulos, cuadrados y hexágonos es otro de los recubrimientos semirregulares, y lo volveremos a encontrar más adelante. La otra condición que algunos embaldosados semirregulares no cumplen es más fácil de comprender visualmente que de explicar en forma analítica, y podría reducirse a lo siguiente: se vio que las piezas (o engranajes) deben formar cielos cerrados; si éstos son de cuatro, las bisagras deben disponerse sobre una línea recta; si son de seis, en el centro y vértices de un triángulo equilátero; si son de ocho, en el centro y vértices de un cuadrado; ete. La figura 15 es parte de un recubrimiento semirregular. En realidad, es el mismo que aparece en el punto medio del movimiento en la figura 13, pero ahora los huecos fueron reemplazados por baldosas cuadradas. Es un ejemplo de mecanismo en el que las piezas forman un ciclo cerrado de cuatro engranajes. Con las restricciones anteriores, sólo hay dos formas de situar las bisagras. Consideremos la primera. En algún momento del movimiento, los puntos A, P y B deben encontrarse alineados, ya que la bisagra ubicada entre el triángulo y el cuadrado inferior no permite otra cosa. Sin embargo, la distancia entre el vértice A del cuadrado superior y el vértice B del hexágono es menor que el doble del lado, o sea, al segmento de recta APB (cuando los puntos se encuentren alineados). Y otro tanto sucede con la segunda distribución de bisagras, considerándose los puntos C, P y D. Conclusión: la estructura de la figura 15 no gira; se traba. El lector interesado podrá investigar los recubriniientos no homogéneos, en los que los vértices se dividen en clases, y alrededor de cada clase (pero no de las otras), se disponen en el mismo orden los mismos polígonos regulares.
Hasta el momento se ha hablado únicamente de polígonos regulares. Sin
embargo, todo lo dicho es también aplicable a otras figuras, siempre y cuando sus
vértices coincidan con los de un polígono regular, y los lados casen
exactamente unos con otros, de manera que no se trabe el movimiento. En la estructura
que se muestra a continuación, los vértices de cada pieza coinciden con los de un
cuadrado; pueden, por lo tanto, ser consideradas regulares. Esta estructura, al
girar, transforma la disposición de los colores como lo hubiese hecho una de
cuadrados. Otra cosa sucede si las piezas son realmente irregulares. Ahora ya
no es posible inscribir engranajes: muchas veces, los círculos ni siquiera
llegarán a tocarse. Sin embargo, las limitaciones sobre situación de las bisagras,
una por vértice y formando rectas, triángulos, cte., se conserva.
SOLUCIÓN
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