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| El Teorema de los números
primos |
Entre las
muchas cuestiones en las que están implicados los números primos, una de
las más interesantes concierne a su distribución entre los números
enteros
Teorema:
Hay infinitos números primos Demostración:
Por reducción al absurdo. Supóngase, por el contrario que sólo hay un
número finito de números primos y supóngase que se denotan como a,
b,c,...,d . Este conjunto puede contener 400 o 400000 números primos,
pero suponemos que los contiene TODOS.
Multiplíquense estos números primos por otros y sumemósle 1 al producto
para obtener un nuevo número: N= (a x b x c x.... x d) +1. Nótese que al
tener solamente un número finito de números podemos, en efecto
multiplicarlos así. Un número infinito de números primos no podría
haberse multiplicado de dicho modo. Obviamente N es mayor que cualquiera
de los números primos individuales a, b, c,...., d y por tanto N es
diferente de todos ellos. Puesto que estos números son los únicos
números primos existentes, concluimos que N no es un número primo. Esto
significa que N debe ser un número compuesto y por tanto N tiene un
divisor primo. Puesto que hemos supuesto que a, b, c, ..., d , constituyen
todos los números primos este divisor primo de N debe estar en algún
lugar entre ellos. Dicho de otra forma, N es un múltiplo de uno de los
números primos a, b, c, ...., d. Realmente, poco importa de cuál de
ellos es, pero por razones de concreción, suponemos que N es un múltiplo
de c. Claramente, el producto a x b x c x...x d es también un múltiplo
de c ya que c aparece como uno de los factores. Pero la diferencia entre N
y a x b x c x...d será también un múltiplo de c. Pero, por definición,
N es exactamente 1 más que este producto, luego la diferencia es 1.
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