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Números Primos Gemelos

Son los pares de números primos que son impares consecutivos (3 y 5; 11 y 13...). Pues bien, se supone que el número de primos gemelos también es infinito, pero está sin demostrar.
Escribí una lista de números primos hasta el 200 y contá cuántos primos gemelos hay.
Sin embargo en la tabla, observamos que los números primos se van distanciando; es más, se puede demostrar que existen dos números primos consecutivos cuya diferencia sea tan grande como queramos. Para demostrarlo llamamos N al número

N = 1 x 2 x 3 x 4 .....x 100 x (100+1)

Es claro que:

N + 2 es múltiplo de 2, pues N y 2 lo son.
N + 3 es múltiplo de 3
N + 4 es múltiplo de 4
........................................
N + 100 es múltiplo de 100
N + 101 es múltiplo de 101

Ninguno de estos 100 números consecutivos es primo, y así, si s  es el primo inmediatamente anterior a N+2 y t es el primo inmediatamente posterior a N + 101, es claro que su diferencia es mayor que 100. Observá que la misma demostración podría hacerse sustituyendo 100 por un número mayor, como 1000000 o 10²³.