Temas

Biografías

Temas

Curiosidades

Apuntes

Problemas

Software

Libros

Calculadoras

Enlaces

Grupos

Escribime

Libro de visitas

Por qué las pompas de jabón son esféricas? ¿Por qué, cuando dos de ellas se juntan, la doble pompa originada presenta una configuración especial? ¿Existen leyes que determinen las formas que pueden adoptar?

 principios: están formadas por películas de jabón que se cortan; además, o bien tres de estas películas se cortan a lo largo de una curva, o bien cuatro de estas curvas (y seis superficies) se encuentran en un punto; por último, cuando tres películas se cortan en una curva, tienden entre ellas ángulos iguales de 120 grados, y cuando cuatro de estas curvas se unen en un punto, lo hacen formando ángulos de 109 28'. Estas reglas indican cómo se dis-
ponen las superficies de jabón, pero no qué posibles formas pueden adquirir. Para que una película de jabón se encuentre en reposo, la
tensión superficial debe equilibrar la presión que ejerce el aire
a ambos lados. Como la tensión superficial puede considerarse constante, la ecuación de Young Laplace implica que la curvatura media de la pompa de jabón (una característica geométrico de la superficie) es constante. Las esferas, los cilindros circulares rectos y los planos son ejemplos de superficies con curvatura media constante, aunque existen muchos otros.
Cuando una asociación de pompas se ha formado, debe tener la menor energía libre posible. Bajo supuestos físicos razonables, dicha energía presenta una componente que depende del área de las superficies de jabón y otra que depende de los volúmenes encerrados (existe una componente gravitatoria que se ignora debido a la escasa masa de la configuración). Suponiendo que los volúmenes de aire encerrado son constantes, el factor dominante en la energía es el área de las películas de jabón. Podemos entonces plantear el si-
guiente modelo matemático: una agrupación de pompas es una con-
figuración de superficies que encierran una o más regiones, y cuya
área no disminuye al aplicar una pequeña deformación de modo que
dicho volumen encerrado en cada región permanezca constante.

Partiendo de este modelo, F. Aimgren y J. Taylor probaron en los
años setenta del siglo pasado que existe solución a este difícil pro- blema y que consiste en una configuración de superficies con cur-
vatura media constante que se comportan siguiendo los principios
de Plateau. Además, en el caso de varios volúmenes encerrados, las
tensiones superficiales (o las curvaturas medias) no son arbitrarias.
Es decir, partiendo de la hipótesis de que las agrupaciones de pam-
pas minimizan el área localmente manteniendo fijos los volúmenes
encerrados, se obtienen tanto las reglas experimentales observadas
por Plateau como la condición de que las curvaturas medias de las
superficies que forman las pompas deben ser constantes (y están re-
lacionadas). Cuando se forma una pompa, ésta es siempre esférica. De acuerdo con el modelo planteado, la esfera debería ser la única superficie que encierra un volumen dado con la menor área posible. Esta propiedad isoperimétrica de la esfera fue demostrada por H. Schwarz en 1884, aunque estudios del problema existen desde tiempos inmemoriales.

Si consideramos dos volúmenes arbitrarios, existe una doble pompa
que verifica todas las condiciones para ser una solución del problema de minimización, la doble pompa usual constituida por tres piezas de esferas de la figura 3. No obstante, no hay objeción matemática a la existencia de otro tipo de soluciones. No se realizó ningún progreso en el problema hasta 1995, cuando tres matemáticos norteamericanos probaron que, en el caso de volúmenes iguales, la única solución que verifica el modelo matemático es la doble pompa
usual. El método de trabajo consistió en realizar una drástica
reducción del número de posibles soluciones por argumentos geométricos, y descartar las restantes posibilidades por me-
dio de un cálculo realizado por ordenador.
En marzo de 2000, un equipo integrado por dos matemáticos
norteamericanos y dos españoles consiguió probar que la única
solución del problema de minimización para un par arbitrario de volúmenes era, de nuevo, una doble pompa usual. El método de demostración es distinto, y consiste en la construcción de deformaciones locales que incrementan el área de la pompa manteniendo fijos los volúmenes encerrados, salvo que la pompa inicial sea la usual.
¿Qué soluciones hay cuando se consideran agrupaciones de pom-
pas que encierran tres o más volúmenes? En este momento el pro-
blema permanece abierto, y ni siquiera disponemos de una conje-
tura clara de qué ocurre en estos casos. La demostración en el caso
de dos volúmenes presenta simplificaciones técnicas que no pueden
aplicarse para el estudio de tres o más volúmenes.
El estudio de películas y pompas de jabón es parte de la cien-
cia de fenómenos superficiales. Los resultados que se obtienen pueden servir domo modelos razonables en ciertas situaciones. Algunas membranas de animales y plantas unicelulares están formadas por moléculas de lípidos que se comportan de un modo similar a las películas de jabón. Dos sustancias incompresibles se separan a veces naturalmente por medio de una superficie. Bajo condiciones óptimas, el factor dominante que determina la forma de la superficie de separación es la minimización del área de dicha superficie. De nuevo en este caso aparecen superficies con curvatura media constante (esferas, cilindros, planos y algunas otras
más complicadas). En un libro titulado On growth and form, D'Arey Thompson describe las formas de algunos seres marinos que constan de una cubierta rellena de fluido orgánico.
La cubierta no es rígida y está sometida a presiones desde el inte-
rior y el exterior que serán, en general, variables, por lo que la
curvatura media de la cubierta no será constante. No obstante, es sorprendente observar cómo la forma de estos seres vivos es similar a la de algunas superficies con curvatura media constante.
Los lectores interesados en el trabajo de osificación de pompas
dobles encontrarán más detalles en http://www.ugr.esl-ritore/bubble/bubble.htm 

* Para ver el artículo en formato jpg hacé click en las imágenes de abajo: