Temas

Biografías

Temas

Curiosidades

Apuntes

Problemas

Software

Libros

Calculadoras

Enlaces

Grupos

Escribime

Libro de visitas

La geometría combinatoria es uno de los campos más atractivos de las matemáticas. Está repleta de problemas de apariencia sencilla, para los que no se conoce solución. En tales problemas se pide hallar configuraciones de líneas rectas, curvas o de otras figuras geométricas, y alcanzar cierto objetivo con máxima eficiencia. Me ceñiré al "problema del cuadrado opaco" y algunasde sus fascinantes variaciones. Berndt Kawohi, de la Universidad de Colonia, me ha hecho prestar atención a tal problema; esta exposición se basa en un artículo que me remitió. Supongamos que poseemos un terreno, que por sencillez supondremos cuadrado y de 1 km de lado. Para asegurar la intimidad, deseamos construir una valla opaca, una barrera que cierre el paso a toda mirada, esto es, a toda línea recta que atraviese el terreno vallado, Por economía, nos gustaría que la 'valla sea de la mínima longitud posible. ¿Qué forma deberá dársele? La valla puede ser tan complicada como se quiera, y estar compuesta por multitud de piezas, sean rectas o curvadas. La solución más obvia es, seguramente, alzar una valla a lo largo de todo el perímetro de la parcela, con una longitud total de 4 km (figura A). Pero unos segundos de reflexión nos hacen ver una mejora: dejar sin vallar uno de los lados, y construir una U con esquinas en ángulo recto (figura 1 B). La longitud se ha reducido ahora a 3 km. Esta es la valla más corta posible, si se exige la condición adicional de que forme una única línea, sea poligonal o curva. ¿Por qué? Porque toda valla opaca ha de contener a los cuatro vértices del cuadrado; la U de tres lados es la más corta de todas las curvas que contienen a todos los vértices. Sin esta restricción podemos, empero, construir una valla más corta que todavía nos resguarde de la mirada ajena. En la figura 1 C se dibuja una valla cuya longitud es 1 + raíz de 3 (alrededor de 2,732 km). Todos los ángulos que forman las paredes son de 120 grados. Las configuraciones de esta clase reciben el nombre de "árboles de Steiner"; con ángulos de 120 grados se logra un árbol de longitud mínima. Se trata de la valla más corta que forma una figura conexa. Si se admite que el vallado conste de varias piezas desconectadas, su longitud total puede reducirse hasta unos 2,639 km (figura ID). Las tres líneas de la mitad superior del diagrama también concurren tendiendo ángulos de 120 grados. Es opinión general que este ejemplo determina la valla opaca de mínima longitud correspondiente a una parcela cuadrada, pero ello no ha sido demostrado aún. A decir verdad, los matemáticos no tienen la certeza de que exista una valla opaca de longitud mínima. Hipotéticamente, quizá se pudiera seguir reduciendo cada vez un poquito más tal longitud dando a la valla formas de complicación creciente. Sí ha sido demostrado que, para cada número dado de componentes conexas, existe una valla opaca de longitud mínima. Lo que se ignora es si la longitud mínima sigue decreciendo conforme aumenta, sin límite, el número de componentes conexas, y si una valla de infinitas componentes conexas puede dar mejores resultados que todas las vallas con número finito de componentes. Aunque estasposibilidades parecen inverosímiles, no han podido descartarse. Kawohi ha proporcionado una preciosa demostración de que la figura 1 D corresponde a la valla más corta compuesta exactamente por dos componentes. Prueba que una de las componentes ha de contener tres de los vértices del cuadrado, y la otra, al vértice restante. La primera componente ha de ser, por tanto, el árbol de Steiner mínimo que conecta tres vértices, y determina la configuración que vemos en la parte superior de la figura. La envoltura convexa de esta configuración -la mínima región convexa que la contiene- es el triángulo resultante de cortar al cuadrado en dos a lo largo de una diagonal. La segunda componente ha de ser la línea de mínima longitud

que conecte a dicho vértice con la diagonal: la recta diagonal que va desde tal vértice hasta el centro del cuadrado.
¿Qué ocurre si la parcela no es cuadrada? Si se trata de un triángulo equilátero, la mínima valla opaca es el árbol de Steiner que se obtiene al unir cada vértice con el centro del triángulo mediante una recta (figura 1 E). En el caso de un pentágono regular, la mejor de las vallas opacas conocidas consta de tres piezas (figura 1 F). Una de las piezas es un árbol de Steiner que conecta tres vértices adyacentes del pentágono. La segunda es tramo recto que une al cuarto vértice con la envoltura convexa de los otros tres. La tercera
pieza es otro segmento que une el quinto vértice con la envoltura convexa de los otros cuatro. No se ha demostrado que tal valla tenga longitud mínima, pero tampoco ha sido descubierta ninguna valla opaca más corta. La valla más conocida para el hexágono regular es parecida (figura 1 G). Dado que los ángulos del hexágono son de 120 grados, el árbol de Steiner está formado por tres lados consecutivos de la propia figura, que conectan cuatro vértices consecutivos. La segunda componente de la valla es la línea más corta que lleve desde un quinto vértice hasta la envoltura convexa del árbol de Steiner, y la tercera, la línea más corta que conecte al sexto vértice con la envoltura convexa de los otros cinco. Aquí tampoco se ha podido demostrar que esta valla tenga longitud mínima. Una construcción del mismo tipo puede servir para trazar una valla presuntamente mínima para cualquier polígono que posea un número par de lados (figura 2 H). Basta dividir el polígono en dos mediante un diámetro que una dos vértices opuestos. La primera componente de la valla está constituida por todos los lados yacentes en una de las mitades, que forman la equivalente poligonal de una semicircunferencia. La segunda componente es la línea más corta que conecta al vértice siguiente con la envoltura convexa de la primera componente. La tercera componente es la línea más corta que conecte al vértice siguiente con la envoltura convexa de las dos primeras componentes, y así sucesivamente. Un polígono regular con gran número de lados se parece mucho a una circunferencia. ¿Cuál es la valla más corta que logra hacer opaco a un círculo? Supongamos, por sencillez, que el radio del círculo sea de 1 km. La valla más sencilla que se nos ocurre es la circunferencia del -círculo, que tiene una longitud de 2 pi, unos 6,283 km. Es posible mejorar este resultado si se permite que la valla salga al exterior de la parcela circular. Alcemos la valla a lo largo de una semicircunferencia, creando un semicírculo, y prolonguémosla añadiendo dos líneas de 1 km que sean tangentes al círculo en los extremos del semicírculo (figura 2 l). La forma en U resultante constituye una valla opaca para el círculo, y su longitud es de pi + 2, unos 5,142 km. Se puede demostrar que esta figura define la valla opaca mínima más corta si nos empezamos en que forme una curva simple; es decir, que sea de una pieza y carezca de puntos de ramificación. Otra descripción posible del problema consiste en imaginar zanjas en lugar de vallas. Supongamos sabido que a una distancia máxima de 1 km de un punto dado pasa una tubería recta. ¿Cuál es la mínima zanja que podemos excavar, con la certeza de dar con la tubería? Sabemos que esta conducción ha de atravesar un círculo de un kilómetro de radio, con centro en el punto de que se trate y, por consiguiente, ha de interceptar a cualquier valla opaca correspondiente a ese círculo. Así pues, debemos excavar una zanja en forma de valla opaca. En esta variante del problema resulta natural permitir que la zanja salga al exterior del círculo; en cambio, las vallas suelen construirse en el terreno propio, no en los vecinos. Kawohi demuestra que la valla opaca de longitud mínima enteramente contenida en el disco no puede medir más de pi + 2 km. Para ello, considera la valla conjeturada para un polígono de gran número par de lados, que se aproxima mucho al círculo. Un cálculo trigonométrico demuestra que la longitud de la valla presentada en la figura 2 H tiende hacia pi + 2 al ir creciendo ilimitadamente el número de lados del polígono. Ahora bien, ¿son las vallas conjeturadas realmente las más cortas o existe algún procedimiento para abreviarlas un poco? ¿Y qué sucede en el caso de otras figuras, como los polígonos irregulares (convexos o no),las elipses o los semicírculos? ¿Qué decir del mismo problema en tres, dimensiones (el cubo o la esfera opacos)? Los amantes de las matemáticas recreativas tienen, mucho donde investigar.