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La geometría analítica no es una nueva geometría, sino la geometría misma estudiada con el auxilio del análisis una vez establecidos sus fundamentos con sus propios recursos. Así la concibió René Descartes, el sabio filósofo y matemático francés a quien se considera como el creador de este ingenioso método científico por haberlo dado a conocer públicamente, antes que nadie, en uno de los tres apéndices que acompañaban a su famosos Discurso del Método, obra que apareció en Leyden en el año 1637. CIerto es que un año antes el inspirado y talentoso matemático de la misma nacionalidad, Pierre de Fermat, comunicaba a su amigo Gilles Personier de Roverbal, en carta fechada el 22 de septiembre de 1636, trabajos reveladores de que ya poseía el referido método; pero a pesar de ello y de que, al publicarse sus obras póstumas en 1679, se conocieron otras importantes contribuciones suyas a la geometría analítica, sobre temas que hasta entonces no habían sido tratados (tales como la ecuación de la recta y la de cada uno de los diversos tipos de cónicas), todo lo cual le acredita su condición de precursor de esta disciplina científica, es justo reconocer que la ciencia le debe a Descartes la prioridad de la divulgación del método que permite aplicar sistemáticamente el análisis al estudio y desarrollo de la geometría. Además, las ideas de Descartes sobre este particular no provienen del año en que publicó su trabajo, sino de mucho tiempo atrás. Según él, mientras actuaba como voluntario en la campaña del Danubio de la guerra de treinta años, encontrándose en Neuberg, tuvo tres sueños en la noche del 10 de noviembre de 1619, y esos sueños le sugirieron las primeras ideas sobre lo que después de maduras reflexiones habría de ser su filosofía y su geometría analítica. Por eso consideraba a ese día como el más importante de su vida, como el que decidió su porvenir.

Descartes, atendiendo más al carácter de los temas que al nuevo método científico de que se valió para desarrollarlos, no asignó a este último un nombre especial y tituló a su trabajo La Géométrie. El nombre de geometría analítica con que actualmente se designa a esta disciplina es muy posterior. Refiere el profesor Benjamín Segre, de Bologna, que esa expresión aparece por primera vez en la página 389 del tomo I de la primera edición inglesa de las obras completas de Newton, publicada por S. Horsley en 1779, pero sin referirse en tal caso a lo que hoy significa esa denominación, sino como palabras iniciales del título "Geometria analytica sive specimina artis analyticae" adjudicado en dicha edición a una de las obras de aquel matemático, aparecida en 1736 con el título originario de "The method of fluxions and infinite series". Quien empleó por primera vez la expresión geometría analítica con el sentido que tiene actualmente, fue el matemático Lacroix, en 1787, pero no lo hizo tampoco en un libro de la especialidad, sino en el prólogo de su Tratado de cálculo diferencial e integral. Por fin, ya como título de un libro de la materia, la adopta el profesor J.G.Garnier para sus "Eléments de Géometrie Analytique", libro publicado en París en el año 1808.

El método de Descartes y Fermat, que constituye la esencia de la geometría analítica, consta de tres pasos, a saber:
a) transformación del problema geométrico considerado en un problema de análisis matemático;
b) resolución de este nuevo problema mediante los recursos propios del referido análisis;
c) interpretación geométrica de la solución analítica obtenida.
Esta interpretación geométrica constituye la solución del problema primitivo.

Los antiguos habían procedido justamente a la inversa para resolver cuestiones de análisis por medio de la geometría, ideando así un método indirecto que bien podría llamarse análisis geométrico. Pitágoras, por ejemplo, en el siglo sexto antes de Jesucristo, representaba las unidades numéricas por bolitas de un ábaco y, disponiéndolas geométricamente (en forma de cuadrados o triángulos), deducía, de las propiedades de las figuras obtenidas, las fórmulas de la suma de los n primeros números impares y de la suma de los n primeros números naturales. Los nombrs de cuadrado o cubo, que todavía consrvan la segunda y tercera potencia de un número, provienen de que los números se representaban por sergmentos, superficies o volúmenes cuyas medidas fueran iguales a ellos, y así: un producto de dos números se representaba por un rectángulo cuyos lados fueran los representantes geométricos de los factores;un producto de tres números por un paralelepípedo rectángulo cuyas aristas representaran estos factores y, como caso particular, la segunda y tercera potencia por el cuadrado o cubo correspondiente. De este modo deducía Euclides, geométricamente, la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, las fórmulas del desarrollo del cuadrado de la suma y de la diferencia de dos números, y varias otras cuestiones de carácter aritmético y algebraico. Este método indirecto subsistió hasta el siglo XVII debido a que, hasta entonces, la aritmética y el álgebra carecían todavía de un simbolismo adecuado y a que la geometría, perfectamente establecida desde la época de Euclides, proporcionaba medios de prueba suficientemente seguros. Utilizaron este método: Cardan y Tartaglia, para justificar la validez de sus fórmulas para la resolución de las ecuaciones de tercer grado; Rafael Bombelli, en gran parte de su Algebra; y hasta el propio Viéte, considerado como el creador dle álgebra moderna.

Es posible que el análisis geométrico de los antiguos haya sugerido, por contraste, el método opuesto de la geometría analítica y un modo sencillo de hacer efectivos sus pasos primero y tercero. Puesto que las medidas de las cantidades geométricas son números abstractos, resulta natural representar a dichas cantidades por estos números tan intimamente vinculados a ellas y, luego de operar con tales representantes, reponer, en lugar de los resultados numéricos obtenidos, las cantidades cuyas mediadas expresen. Esto es precisamente lo que hacían los algebristas árabes para resolver problemas geométricos, cuyas correspondientes construcciones justificaban por medio de las ecuaciones a que daban lugar dichos problemas, y de igual procedimiento se valieron más tarde Leonardo de Pisa y Luca Pacioli. Pero este tipo de representación numérica de los elementos geométricos tiene un alcance restringido. No todos esos elementos son cantidades . Los entes fundamentales (punto, recta y plano), por ejemplo, no son medibles; y tampoco lo son las líneas y superficies infinitas. El gran mérito de la geometría analítica cartesiana consistió en representar a los puntos por coordenadas, y a las líneas y superficies por ecuaciones cuyas variables son las coordenadas de los puntos que las constituyen. Las coordenadas son también medidas, pero no de los elementos que representan, sino de cantidades auxiliares (segmentos o ángulos) elegidas para determinar su posición con respecto a lugares de referencia fijados previamente. tampoco era nuevo el concepto de coordenada, pero no había sido usado aún como medio de representación analítica sino como recurso para ubicar puntos, cuerpos, sitios, etc. Los cuatro puntos cardinales, concebidos desde la más remota antigüedad, determinan con el punto ocupado por el observador dos ejes perpendiculares con respecto a los cuales se establecen, mediante ángulos, los demás rumbos. Los más vierjos conocimientos astronómicos incluyen las coordenadas celestes (ascensión recta y declinación) para determinar la posición de los astros; Hiparco, en el siglo segundo antes de Jesucristo, introdujo las coordenadas geográficas (longitudo y latitud) para la ubicación de puntos sobre la superficie terrestre; "los romanos, al fundar ciudades, acostumbraban a trazar en el lugar dos surcos perpendiculares entre sí, a los cuales referían la futura posición de casas, plazas, caminos, etc"; y en el delineamiento de las ciudades funadas en nuestro suelo por los conquistadores españoles se advierte siempre un perfecto sistema de coordenadas, tanto en la elección de dos calles principales perpendiculares entre sí (ejes), a partir de las cuales las que las cortan cambian de nombre (lo que equivale a la distinción de signos), como en la división en manzanas cuadradas y la asignación, a cada casa, de un número que expresa su distancia a contar de la correspondiente calle principal.

La genial idea de introducir las coordenadas en la geometría trajo consecuencias insospechadas. Problemas que no se habían podido resolver por los métodos de la geometría pura encontraron rápida y segura solución. se dice que la invención dela geometría analítica por Descartes se debió a su empeño por resolver un problema de Pappus que durante siglos había desafiado el ingenio de los matemáticos sin que hasta entonces nadie hubiera podido hallar una solución general, cosa que consiguió aquel sabio gracias al empleo de su método analítico.

Desde entonces, la geometría analítica siguió contribuyendo poderosamente al desarrollo de la geometría, tanto de la métrica euclidiana -única que existía en la época de su creación- como de la proyectiva, las no euclideanas, la diferencial y la algebraica ideadas posteriormente. Este hecho se explica teniendo en cuenta una certera observación expresada por Rouse Ball en los siguientes términos: "En cuanto a la geometría analítica, no se ha dejado jamás de considerarla como una ciencia indispensable a todo matemático, yc omo un método de investigación incomparablemente más potente que la geometría de los antiguos. Esta última constituye, sin duda alguna, una admirable enseñanza intelectual, y permite con frecuencia una demostración elegante de toda proposición cuya exactitud ya es conocida, pero exige una manera de proceder especial para cada problema particular que se aborde. La geometría analítica nos da algunas reglas simples por medio de las cuales se puede establecer una proposición geométrica o reconocer su inexactitud". A ello debemos agregar que facilitó la concepción de la geometría abstracta y ayudó a vencer naturalmente el prejuicio del espacio único y tridimensional, sugiriéndole a David Hilbert la posibilidad, confirmada por él, de considerar a las ternas ordenadas de números relaes, no ya como representantes de puntos geométricos, sino como una de las tantas interpretaciones de esos mismos puntos, admitidas por los axiomas que los definen implícitamente, y mostrando que con igual derecho se puede considerar a las cuaternas ordenadas de números reales como puntos constitutivos de un espacio de cuatro dimensiones, y en general, a los ordenamientos de n números reales como elementos de un espacio de n dimensiones adecuadamente determinado por medio de los axiomas que se adopten. La influencia de la geometría analítica en la invención del cálculo infinitesimal, de la teoría general de las funciones y de la teoría de las funciones analíticas ha sido ampliamente reconocida.

En el orden práctico, la geometría analítica ha encontrado aplicación a través de la estadística y de las ciencias económicas. El matemático francés Émile Borel atribuye a las consecuencias de una rutina pedagógica inexplicable, el que haya todavía hombres civilizados que, habiendo recibido una buena instrucción primaria o aun secundaria, ignoren o crean ignorar lo que son las coordenadas rectangulares. Para él, esas personas se hallan en situación análoga a la de aquél que se quedó maravillado a l saber que desde la infancia había estado hablando en prosa sin saber lo que era prosa hasta que aprendió el nombre de la lengua vulgar. Aquéllos de nuestros contemporáneos -dice- que creen ignorar la geometría analítica y las coordenadas cartesianas, pero que son sin embargo bastante cultos para leer los diarios, "se azorarían sin reparos delante de esos términos misteriosos y se asombrarían en seguida de saber que al mirar la gráfica del alza o baja del precio del pan, ellos han hecho geometría analítica y utilizado las coordenadas cartesianas".