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Cualquier carpintero aficionado que haya intentado construir una estantería sabe que los rectángulos no son rígidos. Si uno se apoya en un ángulo de una estantería rectangular que no esté bien construida, la estantería se inclinará hacia un lado, formando un paralelogramo, y lo más probable es que se venga abajo. Los triángulos, por el contrario, son rígidos: no se puede cambiar su forma sin modificar la longitud de al menos uno de sus lados. De hecho, el triángulo es el único polígono rígido. Una estantería que tenga cualquier otra forma poligonal -rectangular, pentagonal, hexagonal, etc.- ha de ser reforzada de alguna manera. Una posibilidad es añadir travesaños oblicuos, cuyo efecto es dividir el polígono en una configuración de triángulos rígidos. Otra es adosarle un fondo plano, lo cual nos lleva a la tercera dimensión, donde todo resulta mucho más interesante. El problema de la rigidez de los poliedros ha tenido intrigados a los matemáticos durante casi dos siglos. Los poliedros son cuerpos espaciales cerrados, limitados por un número finito de caras poligonales que se cortan a lo largo de aristas rectilíneas. Hasta hace poco se daba por supuesto que todo poliedro de caras triangulares tenía que ser rígido. Pero esa presunción ha resultado falsa. Existen poliedros "flexibles", que pueden cambiar de forma sin que se deforme ninguna de sus caras triangulares. Y un trío de matemáticos logró demostrar hace justamente un año la conjetura del fuelle, postulada hace mucho tiempo, que afirma que el volumen de un poliedro flexible ha de permanecer invariable mientras cambia de forma. La demostración, inspirada en una fórmula de la Grecia clásica, ha abierto un nuevo dominio de investigación matemática.
Quien haya practicado la papiroflexia sabe que es posible construir muchas figuras flexibles: pajaritos que baten las alas, ranitas que estiran las ancas, y así por menudo. ¿No son éstos, acaso, ejemplos de poliedros flexibles? La respuesta es negativa. Cuando la ranita mueve las patas o la pajarita bate las alas, el papel se curva ligeramente. Lo mismo vale para un acordeón: el fuelle del instrumento puede expandirse y contraerse porque las facetas del fuelle se doblan y se estiran. Pero las caras de un poliedro flexible no se curvan absolutamente nada, ni siquiera una millonésima de milímetro. Cuando un poliedro se flexiona, lo único que puede cambiar son los ángulos en que se cortan las caras: es como si éstas tuvieran bisagras en las aristas. Todo lo demás es perfectamente rígido. Este campo de estudio se remonta a 1813, cuando el matemático francés Augustin Louis Cauchy demostró que un poliedro convexo -un poliedro que carezca de cavidades o entrantes- no es flexible. Pero ¿qué ocurre si hay cavidades? Un ingeniero francés, Raoul Bricard, descubrió que los poliedros no convexos podrían realmente ser flexibles si se permitiera que sus caras pasasen unas a través de otras. Es evidente que tal cosa es imposible para cualquier objeto real del mundo físico. Uno puede hacerse una idea de las figuras de Bricard, empero, si se retiran las caras del poliedro y se reemplazan las aristas por un armazón de varillas rígidas. Robert Connelly, que en la actualidad es jefe del departamento de matemáticas de la Universidad Cornell, modificó el poliedro no convexo de Bricard en los años setenta de modo tal que permaneciera flexible, pero sin que sus caras tuvieran que pasar unas a través de otras. La construcción de Connelly fue simplificada por Klaus Steffen, de la Universidad deDüsseldorf, quien descubrió un poliedro flexible de nueve vértices y 14 caras triangulares (véase la figura). El trabajo de construir un ejemplar de este poliedro con cartulina fina y ver cómo se cimbrea es entretenido. Que se sepa, es el más sencillo de los posibles poliedros flexibles, aunque sería muy difícil demostrar tal afirmación.

Los investigadores de estos poliedros no tardaron en advertir que algunas caras se acercaban y otras se separaban más al producirse la flexión. Parecía como si el volumen total de los poliedros no variase durante su movimiento. Dennis Sullivan, de la Universidad de la Ciudad de Nueva York, verificó experimentalmente esta hipótesis, para lo que perforó un diminuto agujero en un poliedro flexible y llenó de humo el modelo. Al mover el poliedro así relleno, no exhaló humo por el orificio. Este burdo experimento indicó -aunque, obviamente, no lo demostrase- que el volumen del modelo permanecía constante. La proposición dio en ser conocida por "conjetura del fuelle" porque extrañaba que un poliedro flexible no funciona como un fuelle, ya que éstos modifican su volumen y expulsan aire o lo aspiran al cambiar de forma. La primera característica interesante de la conjetura del fuelle es que su versión análoga en dos dimensiones es falsa. Cuando un polígono flexible, como es un rectángulo, se distorsiona y forma un paralelogramo, disminuye el área que encierra. Está claro que el espacio- tridimensional tiene un algo de insólito que hace imposibles los fuelles poligonales. Pero ¿en qué consiste? Para resolver el misterio, Connelly y otros dos matemáticos -Idzbad Sabitoy, de la Universidad del Estado en Moscú, y Anke Walz, de Corneli- centraron su atención en una clásica fórmula del área de un triángulo. Algunos eruditos creen que tal fórmula fue deducida por Arquímedes, pero normalmente es atribuida a Herón de Alejandría, que dejó una demostración escrita. 

Herón era un matemático griego que vivió entre el año 100 a. de C. y el 100 d. de C. Su fórmula, que vemos en el recuadro superior, establece la relación entre el área (x) de un triángulo ylas longitudes de los tres lados (a,b, c). Observemos que se trata de una ecuación polinómica: sus términos son potencias enteras de x, a, b y C. 
A Sabitov se le ocurrió una idea original: la posibilidad de que existiera una ecuación polinómica similar para cualquier poliedro, una fórmula que relacionase el volumen del cuerpo con las longitudes de sus aristas. Tal ecuación constituiría un descubrimiento muy notable. Existen varias fórmulas muy conocidas para poliedros especiales, como los cubos o los ortoedros, cuyo volumen es el producto de las longitudes de su largo, ancho, y alto y otra, para los tetraedros, poliedros de cuatro caras triangulares, que se parece un poco a la fórmula de Herón. Pero nadie había deducido jamás una fórmula general, que permitiera obtener el volumen de un poliedro cualquiera. ¿Sería posible que a los matemáticos más brillantes del pasado no se les hubiera ocurrido una idea tan maravillosa? Parecía inverosímil. Supongamos, empero, que tal fórmula existiese. En tal caso, la conjetura del fuelle tendría que ser verdadera, porque el volumen del poliedro dependería exclusivamente de las longitudes de sus aristas. En la flexión del poliedro no varía la longitud de sus aristas, por lo que el volumen tampoco podría variar. Esta clase de razonamiento presenta un problema, sin embargo: una ecuación polinómica puede tener varias soluciones distintas, por lo que el volumen del poliedro podría saltar de una solución a otra. Pero tal salto no puede acontecer en el mundo físico: si la flexión se realiza gradualmente, el volumen no puede saltar bruscamente de un valor a otro. Por consiguiente, ha de permanecer constante. Los matemáticos empezaron su demostración modificando la fórmula del volumen de un tetraedro, que es parecida a la fórmula de Herón, aunque más compleja. Exactamente igual que puede dividirse un poliedro en triángulos, se le puede descomponer en tetraedros. El volumen del poliedro es la suma de los volúmenes de sus tetraedros componentes. Este método, por sí solo, no resuelve el problema: desemboca en una fórmula en la que intervienen todas las aristas de todas las piezas tetraédricas, muchas de las cuales no son aristas del poliedro original. Lo que sí son, en cambio, es rectas diagonales que van desde uno hasta otro vértice del poliedro, por lo que sus longitudes pueden variar durante la flexión. Los matemáticos tuvieron que "dar un buen masaje" algebraico a la fórmula para poder librarse de las componentes variables.El proceso fue complejo y poco elegante. En el caso de un octaedro, cuerpo que posee ocho caras triangulares, el procedimiento de masaje acabó produciendo una ecuación polinómica en la que el volumen aparecía elevado a la 16-ésima potencia. Otros poliedros más complejos exigían potencias todavía mayores. No obstante, en 1996 Sabitov ideó un algoritmo para hallar una fórmula del volumen de un poliedro cual-quiera. El equipo compuesto por Connelly, Sabitoy y Walz había logrado simplificar mucho el algoritmo hacia 1997. Todavía no se comprende plenamente la razón de que existan tales ecuaciones para todos los poliedros. No hay nada equivalente en dos dimensiones, excepto la fórmula de Herón, que sólo es válida para triángulos. Connelly y Waiz creen saber cómo demostrar una versión tetradimensional de la conjetura del fuelle, pero en el caso de cinco o más dimensiones el problema está completamente abierto. Resulta fascinante que un experimento sencillode plegado de cartulina pueda conducir hasta un descubrimiento matemático, maravilloso y totalmenteinesperado.