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En la esquina superior derecha del famoso grabado "Melancolía" de Albrecht Dürer (Durero), aparece un curioso cuadrado de números (fig. 1). Es un clásico "cuadrado mágico". Las cuatro filas (horizontales), las cuatro columnas (verticales) y las dos diagonales suman todas, como por encanto, 34. Los cuadrados mágicos son un entretenimiento antiquísimo en el que se enredaron y siguen enredándose matemáticos o no. Entre estos últimos cabe mencionar a Benjamín Franklin (no sabemos si antes, durante o después de haber inventado el pararrayos). Meterse con estos ingenios numéricos es meterse en un hoyo profundísimo y sin garantía de retorno.

-EL ZIG.ZAG MÁGICO
Los cuadrados mágicos tienen -además de su personalidad básica, que suman igual en todas las direcciones- varios encantos ocultos. Revelar estos misterios es, precisamente, uno de los placeres del aficionado.
En la figura 2 tenemos el más conocido de los cuadrados mágicos, con suma constante 15. Si ahora se nos ocurriera -no se nos ocurrió ahora, y posiblemente lo que vamos a decir ya era ampliamente conocido en la antigua China, donde este cuadrado, llamado Lo-shu, era usado como amuleto- unir con trazos rectos los números en orden correlativo, nos quedaría una armónica línea en zig-zag (fig. 2b). ¿No es sorprendente que el frío rasgo numérico de sumas constantes dibuje una figura simétrica?
Si hacemos lo mismo con el cuadra los impares nos queda otra «Z» girada (fig. 4a y 4b).
En otro cuadrado mágico -diabólico, en verdad-, como el de la figura
5, los recorridos por los pares y por los impares revelan también zig-zags armónicos (fig. 5b y 5e)**.

El viaje de Eduardo Boero

La mayor gracia de los cuadrados mágicos está en construirlos. Y aquí se cuenta con varios métodos. Están desarrollados en muchos libros, pero no recuerdo ahora ninguno en castellano. Hace ya varios meses. Eduardo Boero nos mandó una larga carta contándonos cómo había llegado solito a construir toda una serie de cuadrados mágicos.
Vale la pena seguir el relato de Eduardo. Aquí va.

«Todo empezó cuando cayó en mis manos un número de Investigación y Ciencia (el que tiene la tapa llena de nudos «Teoría de los nudos», creo), Había ahí un artículo de Martin Gardner de dicado a los «Tableros pendiagonales» La cosa consistía en situar en un tablero de ajedrez de N casillas de lado la mayor cantidad posible de «damas» sin que se ataquen unas a otras. Luego decía que se puede llenar este tablero con N grupos o familias de damas (integrada cada familia por N damas), de modo que ninguna dama ataque a otra de su misma familia.
«Hasta aquí la revista; lo que sirvió de base para mis propias elucubraciones. ¿Qué pasará, me dije, si en vez de damas, pongo una serie de números correlativos, agrupados en familias, sin que los «familiares» se ataquen, y de manera que produzca una compensación en el tablero? «Obviamente, las horizontales, verticales y diagonales tienen que sumar lo mismo. »
«Con estos elementos estuve listo para el ataque. El primer tablero fue el de 5 x 5, por ser el más fácil (en el de 2 x 2 y 3 x 3 no se da). Los pasos fueron más o menos los siguientes.

1. Agrupar los números del 1 al 25 en cinco familias. ¿Cómo hacerlo? Arranqué de la colocación más simple: los números en orden correlativo (fig. 6). Aquí las verticales suman 55, 60, 65, 70 y 75. Hay que buscar una forma de emparejarlas para que todas sumen igual.
2. Lo conseguí ahora en las verticales, que eran diagonales (enteras o cortadas). Siempre diagonales que bajaban de izquierda a derecha: la diagonal entera 1, 7, 13, 19, 25; la diagonal quebrada 6, 12, 18, 24, 5; etc. El resultado está en la figura 7. Y «mis familias» son
las horizontales.

3. El paso siguiente fue reacomodar las familias de manera que ningún número «atacara» a otro de su misma familia, pues, según mi supuesto, así sumarían 65 también las horizontales. Dio resultado. Para hacer el reacomodo utilicé el «salto del caballo», algo que aprendí de Investigación y Ciencia. En la figura 8 se ven las sucesivas colocaciones de las familias.
4. Todas las horizontales y las verticales, bien, pero faltaban las diagonales. La única manera de arreglarlas sin alterar las horizontales o verticales era mover filas o columnas enteras. Y llegué a la conclusión de que como el 13 es el número que está a mitad de camino entre el 1 y el 25, debía ir en el centro. Para poner el 13 en el centro, corrí las tres primeras columnas verticales, poniendo adelante las dos últimas. Quedó mágico el cuadrado (fig. 9). «Hace unos días encontré otra solución para insertar la columna del 13 en
el centro que me desvirtuaba el principio de « no ataque entre familiares. » De todos modos eso sucede en el último paso, por lo que me parece que lo más conveniente es respetar todos los pasos, salvo el final. «Después de comprobar con el cuadrado de 5 x 5, ensayé con los de 7 x 7, 9 x 9, 1 1 x 1 1, 1 3 x 13 con idéntico resultado. ¿Valdrá para todos los que tengan lado impar?»

El procedimiento de Eduardo Boero, que hemos dado en detalle, no es seguramente el más simple, pero viene bien para ilustrar cómo se explora este tipo de entretenimientos. Para cerrarla por hoy, vemos en la figura 10 el elegante dibujo que resulta de unir correlativamente los números del cuadrado mágico de Boero.

* Un detalle informativo: en el cuadrado de Durero, las dos casillas centrales de abajo dan el año 1514, en que fue realizado este conocido grabado.
** Un cuadrado mágico es diabólico si, además de sumar lo mismo las horizontales, verticales y diagonales, también suman lo mismo todas las diagonales quebradas: 8, 2, 9, 15 -13, 7, 4, 10-, 12, 14, 5, 3- y lo mismo en la otra dirección.